En Ocasiones Veo Ciclos.

Una ida de la olla, segunda parte.

Prólogo.

Ya dije que soy ingeniero en Telecomunicaciones. Peor aún: plan de 1971, viejuno (tanto como yo!!). Ergo una parte del peso del título universitario viene de sistemas analógicos y con un principio de funcionamiento diferente al imperativo digital actual, casi que de capa caída.

Sin embargo, una parte importante de la teoría “viejuna” sigue siendo de suma importancia.

Y esa parte es todo lo relacionado con el trabajo utilizando ciclos, ondas, frecuencias (que tiene su base en el nacimiento de la radiofrecuencia, y posterior análisis del sonido), Fourier. Por eso el pensar en ciclos, lo que vulgarmente se llama en telecos “dominio frecuencial” es casi una segunda naturaleza, incluso algo acentuada en los que peinamos canas.

Tanto es así, que en teoría de Servosistemas, el ajuste de controles se hacía muchas veces trabajando en dicho “dominio”.

Así que ya que he explicado lo que son servosistemas, ahora voy a explicar un nuevo concepto, aunque hay muchas ramas gordas que dejo para otra ocasión.

Servosistemas, de nuevo.

En la anterior entrada de esta serie, explicaba un servosistema típico, relacionado precisamente con la generación de electricidad, aunque el sistema mecánico ejemplificado está más que obsoleto.

Hoy voy a poner, por encima, otro ejemplo aún más sencillo: un muelle al que le metemos una masa.

Sí, algo casi infantil.

Y además también mencionaré el péndulo como algo similar al muelle.

El sistema de regulación de bolas tomaba “ideas prestadas” del péndulo, pero en ningún caso puse ninguna fórmula matemática.

Hoy haré una excepción. Hay razones de peso para que la ponga, aunque NO las voy a explicar hoy (tienen su propia entrada, por supuesto).

Bien, todo el tema de una masa suspendida de un muelle, incluso sin masa de ningún tipo, se basa en una única fórmula matemática que sacó hace muchos años (siglos) un tal Robert Hooke, así que se llama Ley de Hooke en un alarde de imaginación… Aunque no se ha hecho justicia con este genio de la Física.

F = - K·(X – X₀)

Esa es la fórmula matemática.

Lo primero que hay que recalcar: el signo negativo a la derecha de la igualdad.

Eso es un claro indicativo de que es un sistema con realimentación negativa.

Porque es un sistema realimentado, ahí dónde lo veis.

A ver, la ley dice que la fuerza F que hace un muelle es igual a una constante (la “fuerza” o “dureza” del muelle, una característica propia del mismo) multiplicado por la diferencia de posición entre la posición en reposo X₀ y la posición a la que se desplaza el extremo del muelle X.

Habitualmente se expresa como simplemente X, (en matemáticas y física, lo habitual es Delta X que es exactamente lo mismo que se ha puesto en la fórmula, pero más “estilo matemático”, más “Klingon”). Pero hay dos razones para expresarlo así.

Aquí explico la primera: queda claro que hay una “posición de equilibrio”, que a nivel de servosistema es lo que se conoce como “consigna”: el punto en el que queremos que se mantenga la masa suspendida.

Lo que dice la ley de Hooke, es que cuando se desplaza el muelle con respecto de esta posición, el mismo hace una fuerza en sentido contrario (el signo – de la fórmula, la negatividad de la realimentación) del desplazamiento, y proporcional a dicho desplazamiento: doble distancia implica doble fuerza. Eso hace que la fuerza que hace el muelle siempre atraiga la masa hacia el punto de consigna.

Esto, en servosistemas, se conoce como un control proporcional, y es casi que la definición más sencilla que uno puede encontrar de todas.

Pero, en la realidad...

Sin embargo, mucha gente ha jugado en algún momento de su vida con muelles y masas suspendidas, ni que sea en clase.

Por tanto, no es nada exagerado pedir desde estas líneas, el recordar que pasa cuando uno juega con una masa suspendida de un muelle, la tira hacia abajo, y la suelta.

Que levanten la mano aquellos que nunca lo han hecho…

Así que todos sabemos lo que pasa: que la maldita cosa empieza a oscilar arriba y abajo, y así durante mucho rato.

No sólo eso. Si uno tiene paciencia, se dará cuenta que no sólo hace eso de ir arriba y abajo. Encima, poco a poco, va empezando a moverse lateralmente, a “pendulear”, hasta que llega un momento en que el movimiento arriba y abajo es muy pequeño, y lo que hace es moverse como un péndulo… para pocos segundos después estar moviéndose, de nuevo, arriba y abajo.

Es decir, no sólo oscila arriba y abajo, también tiene un modo de oscilación pendular y la vibración, la oscilación, va cambiando de un modo a otro, y encima, de forma rítmica!!!

También es obvio que, con el paso de los minutos, el movimiento de oscilación se para del todo.

Incluso, se puede observar con paciencia cómo la amplitud de la oscilación va disminuyendo en total, lentamente, de forma exponencial (decreciente).

Ya comenté que la Teoría de Sistemas Realimentados, o Dinámica de sistemas, solía tener mucho que ver con exponenciales.

Más de lo que parece. Tanto, que dos o tres entradas más tarde en esta serie, entraremos a analizar con algo más de profundidad (no mucha, que eso son matemáticas complejas), aunque eso es un objetivo secundario de esta serie.

Lo importante aquí, es que los sistemas realimentados tienen un comportamiento “inesperado”, muy habitualmente relacionado con oscilaciones (de hecho, siempre, aunque es tarea de los que hacemos sistemas de control el minimizar o el ajustar esta parte).

Esto aplica a muchas cosas (otra entrada en exclusiva, la más importante ya que se trata de las conclusiones primarias a las que pretendo llegar en esta serie).

Un ejemplo curioso es el de la aeronáutica: en el diseño de los aviones hay una inestabilidad habitual que es particularmente curiosa, molesta, si bien raramente dañina y que hasta no hace mucho era difícil de predecir: lo que se llama el “Dutch Roll”, y que tiene bastante que ver con casos curiosos (como el He-162 Volksjäger y las “orejas de Lippisch”).

Estos “efectos secundarios” suelen estar “ocultos” en partes poco “visibles”, y ahí estoy poniendo los cimientos de la próxima entrada.

La historia en que, en matemáticas, una cosa que oscila suele llevar aparejado lo que se conoce como función trigonométrica, habitualmente el Seno y/o el Coseno.

Y, en la fórmula matemática que he puesto del muelle (y que se aplica a tantísimas cosas que no son sólo muelles, ni siquiera son sistemas físicos), no aparece ninguna de estas funciones por ninguna parte.

Eso es debido a que, en realidad, esa es la fórmula del servosistema, pero no del conjunto completo: hace falta añadir otras fórmulas para el análisis completo.

Ninguna de ellas es tan simple, y el resultado del análisis pasa por ecuaciones diferenciales, o, habitualmente en el campo de la ingeniería, la Transformada de Laplace (en sistemas digitales, de tiempo discreto, la Transformada Z).

Hoy nos centramos en el resultado: la tendencia a oscilar, o la presencia muy habitual de elementos cíclicos en el resultado.

Deformación profesional.

Veamos sin embargo, la consecuencia principal que me interesa analizar en esta entrada, que ya va siendo demasiado larga.

Uno de los problemas típicos que nos encontramos los que hacemos sistemas de control (la electrónica cubre muchísimos campos, y los sistemas de control son sólo una pequeña parte, asociada, además, a la especialidad de este autor: la instrumentación, la medida) es ajustar uno de estos sistemas, siendo el más habitual, el más socorrido, el más ampliamente usado, el último (que no el único, ni por única vez) que he ajustado en mi actual trabajo. De hecho, en las próximas semanas tendré que volver a ajustarlo!

Me refiero a lo que ya he mencionado alguna vez como un control PID, siglas que tanto en castellano como en inglés, derivan del latín utilizado en las matemáticas del cálculo de Leibnitz: Proporcional (como el muelle), Integral o Integrativo, y Diferencial o Derivativo.

Ya hemos visto que un sistema proporcional tiene mucha tendencia a oscilar. No sólo eso, tiene otro problema asociado muy fácil de demostrar matemáticamente, que es un cierto error u offset.

La parte integral es la que se encarga de eliminar ese offset, ese error. Eso convierte el sistema en lo que se conoce como un control robusto, o sea, “a prueba de errores”.

Pero resulta que esta parte es lenta, y no arregla muy bien las oscilaciones.

Por eso se suele poner una parte que acelera, que es la responsable de la velocidad, y que suele trabajar con antelación, y que es a la vez una manera de evitar oscilaciones: la parte derivativa.

Por tanto, en un sistema servoconotrolado “analógico” que utiliza un control tipo PID, hay que ajustar tres parámetros, el proporcional, el integral y el derivativo.

En este proceso, además, suelen intervenir elementos “subjetivos” o “deseables” así como elementos “indeseables” y “aceptables”, y trata de conseguir un punto de ajuste adecuado al interés del control de entre un amplio espectro de posibilidades.

El trabajo de ajuste o sintonización (esto es porque en realidad se hace referencia a temas de frecuencia, como en las radios) de un ingeniero, al igual que en el diseño electrónico, es en realidad el de buscar un punto de equilibrio, un “acuerdo negociado” entre los diferentes elementos en conflicto.

Volviendo al “Dutch Roll” de los aviones. ¿Interesa un avión lento y estable o uno rápido y algo inestable?

Un avión de pasajeros interesa que sea estable, y puede llegar a ser muy estable… pero entonces si encima quieres que sea rápido, seguramente vas a terminar con un efecto indeseado de contoneo, que es el Dutch Roll, y que suele ser indicativo de exceso de estabilidad.

Si se hace correctamente, se puede aumentar la estabilidad sin que suceda ese efecto, con el resultado de un avión muy lento de respuesta.

Por otro lado, si quieres un caza de combate que reaccione muy rápido para poder girar en muy poco tiempo, para que sea muy ágil, tendrás que aplicar un diseño marginalmente estable, o incluso (como hoy en día) ligeramente inestable, utilizando un control electrónico para que se pueda pilotar sin exigir una atención absoluta por parte de un piloto muy bien entrenado.

Una comparación entre un Me 262 (el primer caza a reacción de la historia) y un Airbus A300 demuestra una asombrosa semejanza.

Del último sabemos que es un avión de pasajeros, y muy estable. Del primero, se sabe que era un avión de caza muy rápido… pero particularmente poco maniobrero… o sea, demasiado estable para la tarea.

Pues bien. Lo mismo pasa para ajustar controles PID.

El ajuste más habitual suele ser el de acentuar la velocidad. Pero cuando haces que el sistema sea rápido, suele tener tendencia a la oscilación. Por el contrario, si lo que se quiere es que sea lento, seguro y sin error, suele aparecer un sistema muy amortiguado, quizás demasiado.

Por eso, se suele preferir un sistema rápido (para responder mejor a las perturbaciones exteriores), pero como contrapartida, suele aparecer una cierta oscilación que resulta que es precisamente el segundo punto interesante de esta entrada, el efecto secundario: el sobreimpulso.

Es decir, un sistema PID ajustado por velocidad, suele presentar un sobreimpulso (y una oscilación amortiguada) al cambiar de consigna (por ejemplo, al arrancar) o ante una perturbación.

Cuanto más rápido, más sobreimpulso, y más tiempo oscilando de forma amortiguada después.

Por tanto, los parámetros en conflicto son la velocidad por un lado, y la cantidad de sobreimpulso (y el tiempo que está oscilando) por el otro.

En la mayoría de sistemas, ese ajuste suele ser muy rápido y fácil de obtener, con un margen sobrado de opciones.

Ida de la Olla nº2.

Así pues, podemos resumir toda esta entrada, más larga de lo que me esperaba, a dos conclusiones importantes. Su aplicación va mucho más allá de simplemente la electrónica o la aeronáutica, aunque en este caso no es tan simple su traducción a factores psicológicos (pero también, ojo).

El primer punto, el primer efecto, es la tendencia de todos los sistemas realimentados a oscilar, a dar vueltas alrededor del punto predeterminado. Podríamos asimilarlo a la primera ley de Newton: en un caso ideal, un sistema realimentado estará o en reposo u oscilando infinitamente de forma precisa.

El segundo punto, es que muchas veces lo que suele pasar con estos sistemas son sobreimpulsos, rebasamientos, pasadas de vueltas (que, en muchos casos, suelen ser cortas y rápidamente corregidas… o no).

Esto don dos comportamientos típicos de todos los sistemas que se estudian no sólo en Sistemas Realimentados, también en Dinámica de Sistemas… y eso incluye el comportamiento humano!

¿Cuantas veces hemos sobrerreaccionado ante ciertos eventos?¿Cuantas veces estamos indecisos entre dos extremos?

Todo esto aplica al Gran Sistema Realimentado: La Civilización.

Sin embargo, hay límites, no siempre funciona como es previsto. De eso trata la siguiente entrada

Beamspot.